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Este problema lo podemos resolver con el Euclidean algorithm. Si el máximo común divisor entre el numerador y denominador es 1, entonces la fracción es irreducible. Al dividir 21n+4 entre 14n+3, el restante sería 7n+1. Si luego hacemos lo mismo con 14n+3 y 7n+1, el restante sería 1. Y el restante al dividir 7n+1 entre 1 es 0. Por lo tanto, el máximo común divisor del numerador y denominador es 1 para cualquier n, probando que la fracción es irreduscible.
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Dejo una solución linda que encontré.
Consideremos la ecuación diofántica $3x-2y=1$. Si existe solución $(x,y)$ para la ecuación, el mcd de $(x,y)$ es $1$. Entonces, como $3(14n+3) – 2(21n+4)=1$, la fracción es irreducible.
Mi solución era diferente:
Digamos que $a$ divide a $21n+4$ y a $14n+3$. Entonces, $a$ divide su resta, o sea, $a \mid 7n+1$. Pero entonces, $a \mid 14n+3 – (7n+1)=7n+2 \Rightarrow a \mid 7n+2-(7n+1) =1 \Rightarrow a= \pm 1$. Como el único número que divide a $21n+4$ y a $14n+3$ es $\pm 1$, queda probado.
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