Bueno, vamos a empezar esto.

[Sebastián J. Portalatín CortésModerador Temas: 30Respuestas: 44Total: 74Experto★★★★]

Todos los puntos sobre el perímetro de un triángulo equilátero se pintan o rojos o blancos. Probar que, sin importar como se pinten los puntos, siempra existe un triángulo rectángulo cuyos vértices son todos del mismo color.

[Arturo PortnoyModerador Temas: 2Respuestas: 1Total: 3Principiante★]

Chévere Sebastián! Gracias por tu problema. Estaremos atentos a soluciones.

[William Beato RodríguezParticipante Temas: 1Respuestas: 8Total: 9Principiante★]

<p style=”text-align: left;”>Se me ocurre que, al ser un triángulo equilátero, y partiendo de que sus ángulos miden 60, respectivamente, al trazar una mediatriz, se forman dos triángulos rectos 30:60:90. Quizás esto sea de ayuda, al un punto medio, rojo o blanco, ser el mismo vértice, al igual que el punto superior. No sé si esté correcto, pero vale la pena preguntar. Gracias.</p>

[Sebastián J. Portalatín CortésModerador Temas: 30Respuestas: 44Total: 74Experto★★★★]

Si el triángulo es ABC, y D es el pie de la altura trazada de A, nada garantiza que D y A sean del mismo color. Lo que si, por lo menos dos de esos 4 puntos son del mismo color.

 

Mi pista: Trata por contradicción y no te olvides de lo importante que es el principio del Palomar.

[luis caceres duqueModerador Temas: 0Respuestas: 7Total: 7Principiante★]

Muy bonito problema Sebastian, sobretodo porque no requiere muchos datos en su enunciado. El principio del palomar se puede usar. Para los que no saben este principio en su version mas simple es que si tienes n+1 palomas y tienes n nidos y las palomas van todas a un nido, entonces habra por lo menos un nido con al menos dos palomas. Muy simple, pero muy util !

[Sebastián J. Portalatín CortésModerador Temas: 30Respuestas: 44Total: 74Experto★★★★]

Dejo un hint:

Marcan los puntos que dividen a los lados del triángulo en tres partes iguales. Estos seis puntos forman un hexágono regular. Por ahí sale.

[Jonathan Rodríguez FigueroaModerador Temas: 3Respuestas: 11Total: 14Intermedio★★]

Aquí está mi solución. Seguramente hay un más bonito, pero funciona.

Supongamos que sí existe una coloración sin triángulos equiláteros con vértices del mismo color (para simplificar, voy a llamarlos “triángulos especiales”).

Marcamos los puntos que dividen a cada lado en tres segmentos iguales. Los nombramos P,Q,R,S,T,U (ver figura). Hay 6 puntos de 2 colores distintos en el hexágono regular. Por el principio del palomar, al menos 3 puntos tienen el mismo color.

Si dos puntos opuestos del hexágono tienen el mismo color, es fácil ver que el tercer punto de ese color formaría un triángulo especial. Por lo tanto, cada pareja de puntos opuestos tiene dos colores distintos.

Digamos P es blanco (el caso donde P es rojo es análogo). Quiere decir que S es rojo.

Si R es blanco y U es rojo, el vértice B puede formar un triángulo especial sin importar su color. Si B es rojo, USB es especial. Si B es blanco, PRB es especial. Por lo tanto, U debe ser blanco y R debe ser rojo.

Usando la misma lógica, T no puede ser rojo (por R) y Q no puede ser rojo (por S). Esto quiere decir que Q y T son blancos, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, una coloración sin triángulos especiales no existe.

[Sebastián J. Portalatín CortésModerador Temas: 30Respuestas: 44Total: 74Experto★★★★]

La mía es similar. Usaré tu dubijo ya hecho.
<p style=”text-align: left;”>Si nos fijamos en U, S y Q, hay tres puntos para dos colores. Esto significa que hay dos del mismo color, digamos U y S rojos, sin pérdida de generalidad. Si R o B fueran rojos, ya acabamos. Asumamos que son blancos. Pero si son blancos, sin importar el color de P, hay un triángulo rectángulo.</p>

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